Équation diophantienne - Exemple

On résout l'équation \((E) \colon 8x+14y=10\) dans \(\mathbb{Z}^2\) .

• On applique l'algorithme d'Euclide pour \(14\) et \(8\) :
  \(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 14&8&1&6\\ \hline 8&6&1&2\\ \hline 6&2&3&0\\ \hline\end{array} \begin{array}{ll}\ \\ \times (-1) & \text{suppression du reste } 6\\ \times 1 & \text{conservation du PGCD}\\ \ \\ \end{array}\end{align*}\)  
  On a donc \(\mathrm{PGCD}(8;14)=2\) , et comme \(2\) divise \(10\) , l'équation \((E)\) admet des solutions.
  
• En additionnant les lignes après avoir éliminé les restes intermédiaires, on obtient :
  \(\begin{align*}14 \times (-1)+8 \times 1=8 \times 1 \times (-1)+2& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 8 \times 2+14 \times (-1)=2\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 8 \times 10+14 \times (-5)=10\end{align*}\)  
  donc \((x_0;y_0)=(10;-5)\) est une solution particulière de \((E)\) .
  
• Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) .
  On a 
  \(\begin{align*}8x+14y=8 \times 10+14 \times (-5)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 8(x-10)=14(-y-5) \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 4(x-10)=7(-y-5). \end{align*}\)  
  On en déduit que \(4\) divise \(7(-y-5)\) .
  Or \(\mathrm{PGCD}(4;7)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(4\) divise \(-y-5\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que  \(\begin{align*}-y-5=4k \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=-4k-5\end{align*}\) .
  On a alors
  \(\begin{align*}4(x-10)=7(-y-5)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 4(x-10)=7 \times 4k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x-10=7k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=7k+10.\end{align*}\)  
  Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(7k+10;-4k-5)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .
  
• Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(7k+10;-4k-5)\) .
  On a  \(\begin{align*}8x+14y& = 8(7k+10)+14(-4k-5)= 8 \times 10+14 \times (-5)= 10 \end{align*}\)  
  donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .
  
• En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par   \(S=\left\lbrace(7k+10;-4k-5) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .